Question

20．如图，已知抛物线C₁：y=$\frac{1}{2}$x²-2x-$\sqrt{3}$，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，已知M（4，0），点P是抛物线上的点，其横坐标为6，点D为抛物线的顶点．

（1）求S_△ABC．
（2）点E、F是抛物线对称轴上的两动点，且已知E（2，a+$\sqrt{3}$）、F（2，a），当a为何值时，四边形PEFM周长最小？并说明理由．
（3）将抛物线C₁绕点D旋转180°后得到抛物线C₂沿直线CD平移，平移后的抛物线交y轴于点Q，顶点为R，平移后是否存在这样的抛物线，使△CRQ为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）对于抛物线C₁，令x=0及y=0，分别求出y与x的值，确定出C，A，B坐标，得到AB与OC的长，即可求出三角形ABC面积；
（2）如图所示，作M关于对称轴的对称点O，将点O向上平移$\sqrt{3}$个单位得到M′，连接PM′，与对称轴交于点F，此时四边形PEFM周长最小，求出M′与P坐标，利用待定系数法确定出直线M′P解析式，令x=2求出y的值，即可确定出此时a的值；
（3）根据题意，利用旋转性质确定出抛物线C₂与直线CD解析式，再利用平移性质确定出抛物线C₂平移后的解析式，表示出C，R，Q坐标，进而表示出CR²，CQ²，RQ²，根据CR²=CQ²；CR²=RQ²；CQ²=RQ²，分别求出a的值即可．

解答 解：（1）对于抛物线C₁：y=$\frac{1}{2}$x²-2x-$\sqrt{3}$，
令x=0，得到y=-$\sqrt{3}$，即C（0，-$\sqrt{3}$），
令y=0，得到$\frac{1}{2}$x²-2x-$\sqrt{3}$=0，
解得：x₁=1-$\sqrt{3}$，x₂=3+$\sqrt{3}$，
∴A（1-$\sqrt{3}$，0），B（3+$\sqrt{3}$，0），
则S=$\frac{1}{2}$[（3+$\sqrt{3}$）-（1-$\sqrt{3}$）]•$\sqrt{3}$=3+$\sqrt{3}$；
（2）如图所示，

作M关于对称轴的对称点O，将点O向上平移$\sqrt{3}$个单位得到M′，
连接PM′，与对称轴交于点F，此时四边形PEFM周长最小，
易得M′（0，$\sqrt{3}$），P（6，6-$\sqrt{3}$），
设直线PM′解析式为y=kx+b，
把M′与P坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{6k+b=6-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3-\sqrt{3}}{3}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
令x=2，得到y=$\frac{6+\sqrt{3}}{3}$，
∴a+$\sqrt{3}$=$\frac{6+\sqrt{3}}{3}$，
解得：a=$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$；
（3）易得抛物线C₁：y=$\frac{1}{2}$（x-2）²-2-$\sqrt{3}$，旋转180°后抛物线C₂：y=-$\frac{1}{2}$（x-2）²-2-$\sqrt{3}$，
直线CD解析式为y=-x-$\sqrt{3}$，
设抛物线C₂平移后的关系式为y=-$\frac{1}{2}$（x-a）²-a-$\sqrt{3}$，
易得C（0，-$\sqrt{3}$），R（a，-a-$\sqrt{3}$），Q（0，-$\frac{1}{2}$a²-a-$\sqrt{3}$），
CR²=a²+a²，CQ²=a²（$\frac{1}{2}$a+1）²，RQ²=a²+$\frac{1}{4}$a⁴，
由CR²=CQ²，得到a²+a²=a²（$\frac{1}{2}$a+1）²，
解得：a=-2+2$\sqrt{2}$或a=-2-2$\sqrt{2}$（舍去）；
由CR²=RQ²，得到a²+a²=a²+$\frac{1}{4}$a⁴，
解得：a=2或a=-2（舍去）；
由RQ²=CQ²，得到a²（$\frac{1}{2}$a+1）²=a²+$\frac{1}{4}$a⁴，
解得：a=0（舍去），
综上，a=2，此时抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-2）²-2-$\sqrt{3}$；a=-2+2$\sqrt{2}$，此时抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+2-2$\sqrt{2}$）²+2-2$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$．

点评 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：抛物线与坐标轴的交点，坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，平移、旋转的性质，等腰三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．