Question

8．如图，在等边△ABC中，点D为AB边中点，点E在CB的延长线上，点F在AC的延长线上，DF交BC于点G且∠EDF=120°．若CE=8，CF=2，则CG=1．

Answer 1

分析 作DH∥BC交AC于H，如图，根据等边三角形的性质得AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°，由于点D为AB边中点，则BD=DH=CH，利用DH∥BC得到∠BDH=∠CHD=120°，而∠EDF=120°，则∠EDB=∠HDF，于是可根据“ASA”证明△BDE≌△HDF得到BE=FH，则BE+BC=2+$\frac{1}{2}$BC+BC=8，得到BC=8，所以DH=CH=2，然后证明△FCG∽△FHD，利用相似比可计算出CG．

解答 解：作DH∥BC交AC于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵点D为AB边中点，
∴BD=DH=CH，
∵DH∥BC，
∴∠BDH=∠CHD=120°，
而∠EDF=120°，
∴∠EDB=∠HDF，
在△BDE和△HDF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDB=∠FDH}\\{BD=DH}\\{∠DBE=∠DHF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△HDF，
∴BE=FH，
∵BE+BC=CE=8，
∴CF+$\frac{1}{2}$BC+BC=8，即2+$\frac{3}{2}$BC=8，
∴BC=4，
∴DH=CH=2，
∵CG∥DH，
∴△FCG∽△FHD，
∴$\frac{CG}{DH}$=$\frac{CF}{FH}$，即$\frac{CG}{2}$=$\frac{2}{2+2}$，
∴CG=1．
故答案为1．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质．