Question

13．如图，足球上守门员在O处开出一高球．球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），把球看成点．其运行的高度y（单位：m）与运行的水平距离x（单位：m）满足关系式y=a（x-6）²+h．
（1）①当此球开出后．飞行的最高点距离地面4米时．求y与x满足的关系式．
②在①的情况下，足球落地点C距守门员多少米？（取4$\sqrt{3}$≈7）
③如图所示，若在①的情况下，求落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．求：站在距离O点6米的B处的球员甲要抢到第二个落点D处的球．他应再向前跑多少米？（取2$\sqrt{6}$≈5）
（2）球员乙身高为1.75米．在距O点11米的H处．试图原地跃起用头拦截．守门员调整开球高度．若保证足球下落至H正上方时低于球员乙的身高．同时落地点在距O点15米之内．求h的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①由飞行的最高点距离地面4米，可知h=4，又A（0，1）即可求出解析式；
②令y=0，解方程即可解决问题；
③如图2所示，根据CD=EF，要求CD只要求出EF，又足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半，可知此时y=2，解方程求出E、F的横坐标，求出EF可解决问题；
（2）由A（0，1）代入y=a（x-6）²+h，得到a=$\frac{1-h}{36}$，由x=11和x=15，求出y列不等式组即可．

解答 解：（1）①当h=4时，y=a（x-6）²+4，又A（0，1）
∴1=a（0-6）²+4，
∴a=-$\frac{1}{12}$，
∴y=-$\frac{1}{12}$（x-6）²+4；
②令y=0，则0=-$\frac{1}{12}$（x-6）²+4，解得：x1=4$\sqrt{3}$+6≈13，x2=-4$\sqrt{3}$+6＜0（舍去）
∴足球落地点距守门员约13米；
③如图，第二次足球弹出后的距离为CD，根据题意，CD=EF，
又足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半，
∴2=-$\frac{1}{12}$（x-6）²+4，
解得：x₁=6-2$\sqrt{6}$，x₂=6+2$\sqrt{6}$，
∴CD=EF=|x₁-x₂|=4$\sqrt{6}$≈10，
∴BD=13-6+10=17（米），
答：他应再向前跑17米；
（2）将x=0，y=1代入y=a（x-6）²+h，得a=$\frac{1-h}{36}$，
当x=11时，y=$\frac{1-h}{36}$（11-6）²+h=$\frac{25+11h}{36}$，
解$\frac{25+11h}{36}$＜1.75，得h＜$\frac{38}{11}$，
当x=15时，y=$\frac{1-h}{36}$（15-6）²+h=$\frac{9-5h}{4}$，
解$\frac{9-5h}{4}$≤0，得h≥$\frac{9}{5}$，
∴$\frac{9}{5}$≤h＜$\frac{38}{11}$．

点评 本题主要考查了二次函数的实际应用，弄清题意，数形结合，把函数问题转化为方程或不等式问题是解决问题的关键．