Question

3．△ABC为等边三角形，∠DAE=60°，∠DAE的边AD交BC的延长线于D、边AE交AB的平行线CE于E，如图1．
（1）连结DE，得△ADE，试判断△ADE的形状并说明理由．
（2）再将△ABC绕点A旋转至与（1）中所得△ADE成如图2所示位置关系，若∠CEB=α，求∠DBE（用含α的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据等边三角形的性质得AB=AC，∠B=∠BAC=60°，由于∠DAE=60°，则∠BAD=∠CAE，再利用平行线的性质得∠ACE=∠BAC=60°=∠B，则可根据“ASA”判断△ABD≌△ACE，所以AD=AE，然后根据等边三角形的判定方法可判断△ADE为等边三角形；
（2）与（1）一样可证明△ABD≌△ACE得到∠1=∠2，由（1）得△ADE为等边三角形，则∠3=60°-∠AEB，∠4=60°-∠2，利用三角形内角和定理和角度的代换可计算出∠DBE=60°+α．

解答 解：（1）△ADE为等边三角形．理由如下：
如图1，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠BAC=60°，
∵∠DAE=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
∵CE∥AB，
∴∠ACE=∠BAC=60°，
∴∠B=∠ACE，
在△ABD和△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ACE}\\{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，
而∠DAE=60°，
∴△ADE为等边三角形；
（2）与（1）一样可证明△ABD≌△ACE，
∴∠1=∠2，
由（1）得△ADE为等边三角形，
∴∠3+∠AEB=60°，∠2+∠4=60°，
∴∠3=60°-∠AEB，∠4=60°-∠2，
∴∠DBE=180°-∠3-∠4
=180°-（60°-∠AEB）-（60°-∠2）
=60°+∠AEB+∠2
=60°+∠AEB+∠1
=60°+∠CBE
=60°+α．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．