Question

20．如图，Rt△OAB中，∠OAB=90°，直角边OA与x轴重合，OA=4，AB=2，现在把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点G；分别过点P，点G作x轴的垂线，交x轴于E，F两点．
问：四边形PEFG的周长是否有最大值？若有，求出最值，并写出解答过程；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质可求出C的坐标和A的坐标，又因为抛物线经过原点，故设y=ax²+bx把（2，4），（4，0）代入，求出a和b的值即可求出该抛物线的解析式；
（2）四边形PEFM的周长有最大值，设点P的坐标为P（a，-a²+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，所以EF=PG=4-2a，PE=MF=-a²+4a，则矩形PEFG的周长L=2[4-2a+（-a²+4a）]=-2（a-1）²+10，利用函数的性质即可求出四边形PEFM的周长的最大值．

解答 解：（1）∵OA=4，AB=2，△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，
∴点C的坐标为（2，4）．
又∵点A的坐标为（4，0），抛物线经过原点，故设y=ax²+bx（a≠0），把（2，4），（4，0）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{0=16a+4b}\\{4=4a+2b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$．
所以抛物线的解析式为y=-x²+4x；

（2）有最大值．
理由如下：设点P的坐标为P（a，-a²+4a），PE=GF=-a²+4a，
则由抛物线的对称性知OE=AF，所以EF=PG=4-2a，
则矩形PEFG的周长L=2[4-2a+（-a²+4a）]=-2（a-1）²+10，
所以当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值，L_max=10．

点评 本题考查了旋转的性质、利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的最大值问题和函数图象的交点问题，题目的综合性很强，对学生的综合解题能力要求很高．