Question

14．如图，抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于A（-2，0）、B（8，0）两点（B在A的右侧），与y轴交于点C，点P是线段OB的一个动点（点P不与O、B重合），过点P作直线l⊥x轴，交双曲线y=$\frac{8}{x}$（x＞0）于点E，交线段BC于点F，交抛物线于点D．
（1）求a，b的值；
（2）设点P的横坐标为m，四边形CDBE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出m的取值范围；
（3）在（2）中的条件下，是否存在m值，使四边形CDBE是平行四边形，若存在，请求出m值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）理由待定系数法即可解决问题；
（2）根据四边形CDBE的面积S=S_△DEC+S_△DEB=$\frac{1}{2}$DE•CH+$\frac{1}{2}$DE•BP=$\frac{1}{2}$DE•（CH+BP），求解即可；
（3）存在．m=4满足题目条件．假设F是BC中点，证明EF=DF即可解决问题；

解答 解：（1）将A、B两点坐标代入y=ax²+bx-4得到，
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b-4=0}\\{64a+8b-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．

（2）由（1）得y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4，作CH⊥y轴于点H，
∵P（m，0），可得E（m，$\frac{8}{m}$），D（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4），
∴CH=m，DE=$\frac{8}{m}$-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4，BP=8-m，
∴四边形CDBE的面积S=S_△DEC+S_△DEB=$\frac{1}{2}$DE•CH+$\frac{1}{2}$DE•BP=$\frac{1}{2}$DE•（CH+BP）=-m²+6m+$\frac{32}{m}$+16（0＜m＜8）．

（3）存在．m=4满足题目条件．
理由：当F为BC中点时，根据三角形中位线定理，可知F（4，-2），
∴m=4，即点P坐标为（4，0），
∴把x=4代入y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4，求得y=-6，
把x=4代入y=$\frac{8}{x}$，求得y=2，
∴D（4，-6），E（4，2），
∴EF=2-（-2）=4，DF=-2-（6）=4，
∴EF=DF，
∴当F为BC中点时，四边形CDBE是平行四边形，
∴存在m=4时，四边形CDBE是平行四边形．

点评 本题考查二次函数综合题、反比例函数的性质、四边形的面积、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．