Question

4．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）若AD=8，DC=3，∠EBD=60°，当四边形BFCE是菱形时，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）由AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，易证得△AEC≌△DFB，即可得BF=EC，∠ACE=∠DBF，且EC∥BF，即可判定四边形BFCE是平行四边形；
（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，根据菱形的性质即可得到结果．

解答 （1）证明：∵AB=DC，
∴AC=DB，
在△AEC和△DFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DB}\\{∠A=∠D}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△DFB（SAS），
∴BF=EC，∠ACE=∠DBF，
∴EC∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形；

（2）解：当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，
∵AD=8，DC=3，AB=CD=3，
∴BC=8-3-3=2，
∵∠EBD=60°，
∴BE=BC=2，
∴当四边形BFCE是菱形时，BE的长是2．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．