Question

8．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（0.5，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b²=4a；④（a+c）²-b²＜0．其中正确的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由抛物线开口方向得到a＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，可对①进行判断；由抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{1}{2}$，得到a+b=0，可对②进行判断；根据抛物线的顶点坐标公式可对③进行判断；根据抛物线与x轴交点的各数对②进行判断；根据x=1和x=-1时的函数值的符号，可对④进行判断．

解答 解：①∵抛物线图象开口向下，且与y轴交点在y轴正半轴，
∴a＜0，c＞0．
∴ac＜0，正确；
②∵抛物线顶点坐标为（0.5，1），
∴抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=-b，即a+b=0，正确；
③∵二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标为（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$），
∴有$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=1，即4ac-b²=4a，正确；
④当x=1时，y=a+b+c＞0，
当x=-1时，y=a-b+c＜0，
则（a-b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c）²-b²＜0，正确．
正确的有4个．
故选D．

点评 本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b²-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b²-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．