Question

6．（1）我们把顶点在正方形网格格点上的三角形称为格点三角形．在7×4的网格中，格点△ABC和格点△DEF如图①所示．
①试说明：△ABC∽△DEF；②求∠B+∠D的度数；

（2）图②中，已知△ABC和△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=m，BC=n，其中m＞n，则$\frac{DF}{EF}$为多少时（用m、n的代数式表示），∠A+∠D的度数为45°？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①根据勾股定理分别求出两个三角形的边长，根据相似三角形的判定定理证明即可；
②根据相似三角形的性质得到∠B=∠E，等量代换即可；
（2）在CA上截取CM=CB=n，连接BM，作MN⊥AB于N，根据勾股定理求出$\frac{BM}{MN}$，证明△EFD∽△MNB，根据相似三角形的性质定理解答即可．

解答 解：（1）①AC=1，BC=3$\sqrt{2}$，AB=5，
DF=$\sqrt{2}$，EF=6，DE=5$\sqrt{2}$，
则$\frac{AC}{DF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{BC}{EF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AB}{DE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AC}{DF}$=$\frac{BC}{EF}$=$\frac{AB}{DE}$，
∴△ABC∽△DEF；
②∵△ABC∽△DEF；
∴∠B=∠E，
又∠E+∠D=45°，
∴∠B+∠D=45°；

（2）如图，在CA上截取CM=CB=n，连接BM，作MN⊥AB于N，

则∠CMB=∠CBM=45°，BM=$\sqrt{2}$n，
∴∠A+∠ABM=45°，
∵∠C=90°，AC=m，BC=n，
∴AB=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，
∴$\frac{1}{2}$×AB×MN=$\frac{1}{2}$×AM×BC，即$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$×MN=（m-n）×n，
解得，MN=$\frac{n（m-n）}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$，
∴$\frac{BM}{MN}$=$\sqrt{2}$n×$\frac{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}{n（m-n）}$=$\frac{\sqrt{2{m}^{2}+2{n}^{2}}}{m-n}$，
∵∠A+∠D=45°，∠A+∠ABM=45°，
∴∠D=∠ABM，又∠MNB=∠F=90°，
∴△EFD∽△MNB，
∴$\frac{DE}{EF}$=$\frac{BM}{MN}$=$\frac{\sqrt{2{m}^{2}+2{n}^{2}}}{m-n}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．