Question

20．某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在5～50（含5和50）之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm²）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据：

薄板的边长（cm）	20	30
出厂价（元/张）	50	70

（1）求一张薄板的出厂价y与边长x之间满足的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得利润是26元（利润=出厂价-成本价）．
①求一张薄板的利润W与边长x这之间满足的函数关系式；
②当边长为多少厘米时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少元？

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案；
（2）①首先假设一张薄板的利润为W元，它的成本价为mx²元，由题意，得：W=y-mx²，进而得出m的值，求出函数解析式即可；
②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可．

解答 解：（1）设一张薄板的边长为xcm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则y=kx+n．
由表格中的数据，得$\left\{\begin{array}{l}{50=20k+n}\\{70=30k+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{n=10}\end{array}\right.$，
所以y与边长x之间满足的函数关系式为：y=2x+10（5≤x≤50）；

（2）①设一张薄板的利润为W元，它的成本价为mx²元，由题意，得：
W=y-mx²=2x+10-mx²，
将x=40，W=26代入W=2x+10-mx²中，
得26=2×40+10-m×40²．
解得：m=$\frac{1}{25}$．
所以W=-$\frac{1}{25}$x²+2x+10．

②因为a=-$\frac{1}{25}$＜0，所以，当x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{2}{2×（-\frac{1}{25}）}$═25（在5～50之间）时，
W_最大值=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{4×（-\frac{1}{25}）×10-{2}^{2}}{4×（-\frac{1}{25}）}$=35．
即出厂一张边长为25cm的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元．

点评 本题考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求一次函数解析式，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．