Question

如图，直线AB分别与两坐标轴交于点A（8，0）、B（0，6）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在线段AB上有一个点P，过点P分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点E、F，若矩形OEPF的面积为9，求点P的坐标；
（3）在第一象限内是否存在点Q，使△QOB与△BOA相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据待定系数法即可求得；
（2）设P的坐标为（x，-

3

4

x+6），根据矩形的面积公式即可求得；
（3）分四种情况分别讨论即可求得．

解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵点A（8，0）、B（0，6），
∴

8k+b=0 b=6

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
∴直线AB的解析式为y=-

3

4

x+6；

（2）设P的坐标为（x，-

3

4

x+6），
则S_矩形OEPF=OE•OF=x•（-

3

4

x+6）=9，
解得：x₁=2，x₂=6，
∴点P（2，

9

2

）或（6，

3

2

）；

（3）①当△OBQ₁∽△BOA时，则∠OBQ₁=∠BOA=90°，
∴BQ₁∥OA，BQ₁=OA，
∴Q₁（8，6），
②当△Q₂BO∽△BOA时，则∠OBQ₂=∠BOA=90°，
∴BQ₂∥OA，

BQ2

OB

=

OB

OA

，
∴BQ₂=

6×6

8

=

9

2

，
∴Q₂（

9

2

，6）；
③当△BQ₃O∽△BOA时，则∠OBQ₂=∠BOA=90°，∠OBQ₃=∠AOB，
∴Q₃在AB上，

BQ3

OB

=

OB

AB

，
∵OA=8，OB=6，
∴AB=

OA2+OB2

=10，
∴BQ₃=

6×6

10

=

18

5

，
设Q₃的坐标为（m，n）
∴

6-n

6

=

m

8

=

18 5

10

，解得，m=

72

5

，n=

96

25

，
∴Q₃（

72

25

，

96

25

）；
④当△OQ₄B∽△BOA时，则∠OQ₄B=∠BOA=90°，
作Q₄的横坐标=Q₃的横坐标=

72

25

，Q₄的纵坐标=6-n=

54

25

；
∴Q₄（

72

25

，

54

25

）；
综上，Q点的坐标为（8，6）或（

9

2

，6）或（

72

25

，

96

25

）或（

72

25

，

54

25

）．

点评：本题考查了待定系数法求解析式，矩形的面积的求法，三角形相似的性质等；熟练掌握和运用性质是解题的关键．