我们把两条中线互相垂直的三角形你为中垂三角形．例如图2.AF.BE是△ABC的中线．AF⊥BE于P．像△ABC这样的三角形称为中垂三角形．(1)如图1.已知A.B在格点上.请在所给的方格图中画出一个△ABC.使△ABC为中垂三角形.且点C在格点上,(2)如图2.已知BP=2.tan∠FAB=$\frac{1}{2}$.求AC和BC的长,(3)如图3．已知� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．我们把两条中线互相垂直的三角形你为中垂三角形．例如图2，AF，BE是△ABC的中线．AF⊥BE于P．像△ABC这样的三角形称为中垂三角形．
（1）如图1，已知A、B在格点（小正方形的顶点）上，请在所给的方格图中画出一个△ABC，使△ABC为中垂三角形，且点C在格点上；
（2）如图2，已知BP=2，tan∠FAB=$\frac{1}{2}$，求AC和BC的长；
（3）如图3．已知△ABC的三条中线AF，BD，CE相交于点G，CE=6，BD=8，AF=10，试判断△ABC是否为中垂三角形，请证明你的结论．

分析（1）根据题意作出图形即可；
（2）如图2，连接EF，根据三角形的中位线的性质得到EF=$\frac{1}{2}$AB，EF∥AB，根据相似三角形的性质得到PE=1，PF=2，根据勾股定理得到AE=$\sqrt{P{E}^{2}+P{A}^{2}}$=$\sqrt{17}$，BF=$\sqrt{P{F}^{2}+P{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，再根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）△ABC是中垂三角形，根据已知条件得到点G是△ABC的重心，求得CG=$\frac{2}{3}$CE=4，BG=$\frac{2}{3}$BD=$\frac{16}{3}$，GF=$\frac{1}{3}$AF=$\frac{10}{3}$，延长GF到M使FM=GF，根据全等三角形的性质得到CM=BG=$\frac{16}{3}$，过C作CH⊥GM于H，根据勾股定理得到GH=$\frac{12}{5}$，CF=$\sqrt{C{H}^{2}+H{F}^{2}}$=$\frac{10}{3}$，推出GF=CF=BF，于是得到即可．

解答解：（1）如图所示；

（2）如图2，连接EF，
则EF=$\frac{1}{2}$AB，EF∥AB，
∵AF⊥BE，BP=2，tan∠FAB=$\frac{1}{2}$，
∴AP=4，
∵△PEF∽△PBA，
∴$\frac{PE}{PB}=\frac{PF}{PA}=\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴PE=1，PF=2，
∵AE=$\sqrt{P{E}^{2}+P{A}^{2}}$=$\sqrt{17}$，BF=$\sqrt{P{F}^{2}+P{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴$\frac{CE}{CA}=\frac{CF}{CB}$=$\frac{1}{2}$，
∴AC=2$\sqrt{17}$，BC=4$\sqrt{2}$；

（3）△ABC是中垂三角形，
理由：∵△ABC的三条中线AF，BD，CE相交于点G，
∴点G是△ABC的重心，
∴CG=$\frac{2}{3}$CE=4，BG=$\frac{2}{3}$BD=$\frac{16}{3}$，GF=$\frac{1}{3}$AF=$\frac{10}{3}$，
延长GF到M使FM=GF，
∴GM=$\frac{20}{3}$，
在△CMF与△BGF中，$\left\{\begin{array}{l}{GF=FM}\\{∠CFM=∠BFG}\\{CF=BF}\end{array}\right.$，
∴△CMF≌△BGF，
∴CM=BG=$\frac{16}{3}$，
过C作CH⊥GM于H，
∵CG²-GH²=CM²-MH²，
∴4²-GH²=（$\frac{16}{3}$）²-（$\frac{20}{3}$-GH）²，
∴GH=$\frac{12}{5}$，
∴HF=$\frac{14}{15}$，CH=$\frac{16}{5}$，
∴CF=$\sqrt{C{H}^{2}+H{F}^{2}}$=$\frac{10}{3}$，
∴GF=CF=BF，
∴∠CGB=90°，
∴BD⊥CE，
∴△ABC是中垂三角形．

点评本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

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