Question

19．如图所示在平面直角坐标系中．抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，直线y=-x+3经过B，C 两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一动点P．使四边形PCOB的面积最大？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由；
（3）若点E是抛物线对称轴上一动点．把OE绕点E旋转90°，点O的对应点为G，若点G恰好落在抛物线上，则称这样的点E为“好点”，请直接写出所有“好点”E的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出B、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）存在．设P（m，-m²+2m+3），由题意S_{四边形PCOB}=S_△PCO+S_△OPB=$\frac{1}{2}$×3×m+$\frac{1}{2}$×3×（-m²+2m+3）=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{63}{8}$，由此利用二次函数的性质即可解决问题．
（3）①如图2中，设对称轴与x轴交于点H，设E（1，m）．作GD⊥EH于D．由△OEH≌△EGD，可得DE=OH=1，DG=EH=m，则G（m+1，m-1），把G（m+1，m-1）代入y=-x²+2x+3得到m-1=-（m+1）²+2（m+1）+3，解方程即可解决问题．②如图3中，设对称轴与x轴交于点H，设E（1，m）．作GD⊥EH于D．同法可求．

解答 解：（1）对于直线y=-x+3令x=0得到y=3，令y=0得到x=3，
∴B（3，0），C（0，3），把B（3，0），C（0，3）代入y=-x²+bx+c得到$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．

（2）存在．理由如下：
如图1中，设P（m，-m²+2m+3），

∴S_{四边形PCOB}=S_△PCO+S_△OPB=$\frac{1}{2}$×3×m+$\frac{1}{2}$×3×（-m²+2m+3）=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{63}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴m=$\frac{3}{2}$时，四边形ABPC的面积最大，此时p（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

（3）①如图2中，设对称轴与x轴交于点H，设E（1，m）．作GD⊥EH于D．

由△OEH≌△EGD，可得DE=OH=1，DG=EH=m，则G（m+1，m-1），
把G（m+1，m-1）代入y=-x²+2x+3得到m-1=-（m+1）²+2（m+1）+3，解得m=$\frac{-1±\sqrt{21}}{2}$，
∴点E坐标为（1，$\frac{-1+\sqrt{21}}{2}$）或（1，$\frac{-1-\sqrt{21}}{2}$）．
②如图3中，设对称轴与x轴交于点H，设E（1，m）．作GD⊥EH于D．

同法可得G（1-m，m+1），把G（1-m，m+1）代入y=-x²+2x+3得到m+1=-（1-m）²+2（1-m）+3，解得m=$\frac{-1±\sqrt{13}}{2}$，
∴点E的坐标为（1，$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$）或（1，$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、待定系数法、四边形的面积、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．