Question

7．如图（1），∠ABC=90°，O为射线BC上一点，OB=4，以点O为圆心，$\frac{1}{2}$BO长为半径作⊙O交BC于点D、E．
（1）当射线BA绕点B顺时针方向旋转360°，若BA与⊙O相切时，那么BA旋转了多少度？
（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转与⊙O相交于M、N两点（如图（2）），MN=2$\sqrt{2}$，求$\widehat{MN}$的长．

Answer 1

分析 （1）要求当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切，就要先利用切线的性质画出图形，从图中可以看出旋转的度数就是∠A′BC的度数．然后利用图形来计算．从图中可看出，OG=OB的一半，所以角PBG=30°，所以当射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°或120°时与⊙O相切；
（2）由勾股定理边的关系可知弧所对的圆心角是一个直角，然后利用弧长公式计算．

解答 解：（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°或120°时与⊙O相切，
理由：当BA绕点B按顺时针方向旋转60°到BA′的位置，则∠A′BO=30°，
过O作OG⊥BA′垂足为G，
∴OG=$\frac{1}{2}$OB=2，
∴BA′是⊙O的切线，
同理，当BA绕点B按顺时针方向旋转120度到BA″的位置时，
BA″也是⊙O的切线．
∵OG=$\frac{1}{2}$OB，
∴∠A′BO=30°，
∴BA绕点B按顺时针方向旋转了60°，
同理可知，当BA绕点B按顺时针方向旋转到BA″的位置时，BA与⊙O相切，BA绕点B按顺时针方向旋转了120°；

（2）∵MN=2$\sqrt{2}$，OM=ON=2，
∴MN²=OM²+ON²，
∴∠MON=90°，
∴$\widehat{MN}$的长为$\frac{90π×2}{180}$=π．

点评 此题主要考查了切线的判定、垂径定理、解直角三角形以及扇形面积的计算方法，难度不大．