阅读下面材料:小昊遇到这样一个问题:如图1.在△ABC中.∠ACB=90°.BE是AC边上的中线.点D在BC边上.CD:BD=1:2.AD与BE相交于点P.求$\frac{AP}{PD}$的值．小昊发现.过点A作AF∥BC.交BE的延长线于点F.通过构造△AEF.经过推理和计算能够使问题得到解决．请回答:$\frac{AP}{PD}$的值为$\frac{3}{2}$．� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．阅读下面材料：
小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，CD：BD=1：2，AD与BE相交于点P，求$\frac{AP}{PD}$的值．
小昊发现，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，通过构造△AEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：$\frac{AP}{PD}$的值为$\frac{3}{2}$．
参考小昊思考问题的方法，解决问题：
如图 3，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC：AC=1：2：3．
（1）求$\frac{AP}{PD}$的值；
（2）若CD=2，则BP=6．

分析易证△AEF≌△CEB，则有AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，然后根据相似三角形的性质就可求出$\frac{AP}{PD}$的值；
解决问题：（1）过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．易证△AEF≌△CEB，则有EF=BE，AF=BC=2k．易证△AFP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质就可求出$\frac{AP}{PD}$的值；
（2）当CD=2时，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根据$\frac{FP}{BP}$的值求出$\frac{BF}{BP}$，就可求出BP的值．

解答解：$\frac{AP}{PD}$的值为$\frac{3}{2}$．
提示：易证△AEF≌△CEB，则有AF=BC．
设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，
由AF∥BC可得△APF∽△DPB，
即可得到$\frac{AP}{PD}$=$\frac{AF}{BD}$=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$；

解决问题：
（1）过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，如图，
设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．
∵E是AC中点，
∴AE=CE．
∵AF∥DB，
∴∠F=∠1．
在△AEF和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠1}\\{∠2=∠3}\\{AE=CE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CEB，
∴EF=BE，AF=BC=2k．
∵AF∥DB，
∴△AFP∽△DBP，
∴$\frac{AP}{DP}$=$\frac{FP}{BP}$=$\frac{AF}{DB}$=$\frac{2k}{3k}$=$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{AP}{PD}$的值为$\frac{2}{3}$；

（2）当CD=2时，BC=4，AC=6，
∴EC=$\frac{1}{2}$AC=3，EB=$\sqrt{E{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴EF=BE=5，BF=10．
∵$\frac{FP}{BP}$=$\frac{2}{3}$（已证），
∴$\frac{BF}{BP}$=$\frac{5}{3}$，
∴BP=$\frac{3}{5}$BF=$\frac{3}{5}$×10=6．
故答案为6．