Question

15．如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
（1）求证：AD+MC=DE+BM；
（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）图1中，若正方形的边长是2，求四边形AMCE的面积．

Answer 1

分析 （1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，易证△ADE≌△NCE，从而有AD=CN，证明AM=NM即可得出AM=AD+MC；作FA⊥AE交CB的延长线于点F，易证AM=FM，需要证明FB=DE；要证FB=DE，只需证明它们所在的两个三角形全等，即可得出AM=FB+BM=DE+BM，即可得出结论；
（2）仿照（1）中的证明思路即可证到AM=AD+MC仍然成立；采用反证法，并仿照（1）中的证明思路即可证到AM=DE+BM不成立；
（3）由（1）得出DE=2MC，得出MC=$\frac{1}{2}$，BM=$\frac{3}{2}$，四边形AMCE的面积=正方形ABCD的面积-△ABM的面积-△ADE的面积，即可得出结果．

解答 （1）证明：延长AE、BC交于点N，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠ENC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠ENC=∠MAE．
∴AM=MN．
在△ADE和△NCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CNE}&{\;}\\{∠AED=∠NEC}&{\;}\\{DE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△NCE（AAS）．
∴AD=NC．
∴AM=MN=NC+MC=AD+MC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°．
∴∠FAB=90°-∠BAE=∠DAE．
在△ABF和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAB=∠EAD}&{\;}\\{AB=AD}&{\;}\\{∠ABF=∠D=90°}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADE（ASA）．
∴BF=DE，∠F=∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE．
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM．
∴∠F=∠FAM．
∴AM=FM．
∴AM=FB+BM=DE+BM．
∴AD+MC=DE+BM．
（2）解：AD+MC=DE+BM不成立；理由如下：
延长AE、BC交于点P，过点A作AQ⊥AE，交CB的延长线于点Q，如图2所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠EPC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠EPC=∠MAE．
∴MA=MP．
在△ADE和△PCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CPE}&{\;}\\{∠AED=∠PEC}&{\;}\\{DE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△PCE（AAS）．
∴AD=PC．
∴AM=MP=PC+MC=AD+MC．
假设AM=DE+BM成立．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB∥DC．
∵AQ⊥AE，
∴∠QAE=90°．
∴∠QAB=90°-∠BAE=∠DAE．
∴∠Q=90°-∠QAB=90°-∠DAE=∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE．
∵∠QAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠QAB=∠QAM．
∴∠Q=∠QAM．
∴AM=QM．
∴AM=QB+BM．
∵AM=DE+BM，
∴QB=DE．
在△ABQ和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QAB=∠EAD}&{\;}\\{∠ABQ=∠D=90°}&{\;}\\{BQ=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△ADE（AAS）．
∴AB=AD．
与条件“AB≠AD“矛盾，故假设不成立．
∴AM=DE+BM不成立．
∴AD+MC=DE+BM不成立．
（3）解：∵AD+MC=DE+BM，
∴AD+MC=DE+BC-MC，
∴DE=2MC，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AB=BC=CD=AD=2，DE=1，
∴MC=$\frac{1}{2}$，
∴BM=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴四边形AMCE的面积=正方形ABCD的面积-△ABM的面积-△ADE的面积=2×2-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$×2×1=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了正方形及矩形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义等知识，考查了基本模型的构造（平行加中点构造全等三角形），考查了反证法的应用，综合性比较强．添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键．