Question

12．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC，交AC于F．
（I）求证：AE=CF．
（2）在（1）的基础上，如图②，作GM⊥BC于点M，若GM=GF，连接EM，FM．判断四边形GEMF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）过作E作EH∥AC交CD于H，推出四边形EHCF是平行四边形，根据平行四边形的想折叠的EH=CF，∠C=∠EHB，根据余角的性质得到∠BAD=∠C，根据全等三角形的性质即可得到结论．
（2）根据角平分线的性质得到AG=GM，根据直角三角形的性质得到EG=AG=GF，根据全等三角形的性质得到∠AGB=∠MGB，根据平行线的性质得到∠AEG=∠EGM，推出△AEG是等边三角形，得到∠EAC=∠AGE=60°，于是得到结论．

解答 （1）证明：过作E作EH∥AC交CD于H，
∵EF∥BC，
∴四边形EHCF是平行四边形，
∴EH=CF，∠C=∠EHB，
∵∠BAC=90°，AD⊥BC于D，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAD+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴∠BAD=∠BHE，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABE=∠HBE，
在△ABE与△HBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠HBE}\\{BE=BE}\\{∠BAE=∠BHE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△HBE，
∴AE=EH，
∴AE=CF；
（2）解：四边形GEMF是菱形，
理由：∵BG平分∠ABC，∠BAC=90°，GM⊥BC，
∴AG=GM，
∵GM=GF，
∴AG=GF，
∵EF∥BC，AD⊥BC，
∴EF⊥AD，
∴∠AEF=90°，
∴EG=AG=GF，
在Rt△ABG与Rt△BMG中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=GM}\\{BG=BG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△BMG，
∴∠AGB=∠MGB，
∵AD∥GM，
∴∠AEG=∠EGM，
∴∠AEG=∠AGE，
∴AE=AG，
∴△AEG是等边三角形，
∴∠EAC=∠AGE=60°，
∴∠BGC=120°，∠C=30°，
∴∠GBC=∠ABE=∠BAE=30°，
∴AE=BE，
∴BE=EG，
∵EF∥BC，
∴GF=CF，
∴EM=EG，MF=GF，
∴EM=EG=MF=GF，
∴四边形GEMF是菱形．

点评 本题考查了全等三角形的判断和性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．