Question

12．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于C，D两点，与x，y轴交于B，A两点，且tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，OB=4，OE=2．
（1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式；
（2）求△OCD的面积；
（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件求出A、B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB和反比例函数的解析式；
（2）联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解；
（3）根据函数的图象和交点坐标即可求解．

解答 解：（1）∵OB=4，OE=2，
∴BE=2+4=6．
∵CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴OA=2，CE=3．
∴点A的坐标为（0，2）、点B的坐标为C（4，0）、点C的坐标为（-2，3）．
∵一次函数y=ax+b的图象与x，y轴交于B，A两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
故直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2．
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象过C，
∴3=$\frac{k}{-2}$，
∴k=-6．
∴该反比例函数的解析式为y=-$\frac{6}{x}$；

（2）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{y=-\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，
可得交点D的坐标为（6，-1），
则△BOD的面积=4×1÷2=2，
△BOC的面积=4×3÷2=6，
故△OCD的面积为2+6=8；

（3）由图象得，一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围：x＜-2或0＜x＜6．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．