Question

2．如图，已知正比例函数y₁=ax的图象与反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$ 的图象有一个公共点A（1，2）．
（1）求这两个函数表达式；
（2）根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值的x的取值范围；
（3）根据反比例函数的图象，写出当-2＜x＜-1时y₂的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出正（反）比例函数表达式；
（2）由两函数图象的对称性可得出点B的坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，即可找出正比例函数值大于反比例函数值的x的取值范围；
（3）根据反比例函数的性质找出在-2＜x＜-1上，y值随x值的增大而减小，再根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可找出当-2＜x＜-1时y₂的取值范围．

解答 解：（1）将点A（1，2）代入y₁=ax中，
2=a×1，解得：a=2，
∴正比例函数表达式为y₁=2x．
将点A（1，2）代入y₂=$\frac{k}{x}$中，
2=$\frac{k}{1}$，解得：k=2，
∴反比例函数表达式为y₂=$\frac{2}{x}$．
（2）由正、反比例函数图象的对称性可知：点B的坐标为（-1，-2）．
观察函数图象可知：当-1＜x＜0或x＞1时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，
∴正比例函数值大于反比例函数值的x的取值范围为-1＜x＜0或x＞1．
（3）∵k=2＞0，
∴在-2＜x＜-1上，y值随x值的增大而减小．
当x=-2时，y₂=$\frac{2}{x}$=-1；
当x=-1时，y₂=$\frac{2}{x}$=-2．
∴当-2＜x＜-1时y₂的取值范围为-2＜y₂＜-1．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求正比例函数解析式、待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点A的坐标，利用待定系数法求出正（反）比例函数关系式；（2）根据两函数图象的上下位置关系找出正比例函数值大于反比例函数值的x的取值范围；（3）根据反比例函数的性质结合反比例函数图象上点的坐标特征，求出当-2＜x＜-1时y₂的取值范围．