Question

1．如图，在△ABC中，已知CA=CB=5，BA=6，点E是线段AB上的动点（不与端点重合），点F是线段AC上的动点，连接CE、EF，若在点E、点F的运动过程中，始终保证∠CEF=∠B．
（1）求证：∠AEF=∠BCE；
（2）当以点C为圆心，以CF为半径的圆与AB相切时，求BE的长；
（3）探究：在点E、F的运动过程中，△CEF可能为等腰三角形吗？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）设⊙C与BA切于点M，则CM=CF，CM⊥BA，根据垂径定理得到BM=AM=$\frac{AB}{2}$=3，根据勾股定理得到CF=CM=4，根据相似三角形的性质得到$\frac{EA}{BC}=\frac{AF}{BE}$，设BE长为x，则EA长为6-x即可得到结论；
（3）①当CE=CF时推出EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立．②当CF=EF时，根据全等三角形的性质得到BE=AB-5=1，③当CF=EF时，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠B+∠BCE=∠CEA=∠CEF+∠FEA，
∵∠CEF=∠B，
∴∠AEF=∠BCE；

（2）解：如图1，设⊙C与BA切于点M，则CM=CF，CM⊥BA，
∵CA=CB，CM⊥BA∴BM=AM=$\frac{AB}{2}$=3，
Rt△AMC中，AC=5，AM=3，
∴CF=CM=4，
∴AF=1，
∵CA=CB∴∠B=∠C
由（1）知∠AEF=∠BCE
∴△AEF∽△BCE，
∴$\frac{EA}{BC}=\frac{AF}{BE}$，
设BE长为x，则EA长为6-x
∴$\frac{6-x}{5}=\frac{1}{x}$，
解得：x₁=1，x₂=5，
答：BE的长为1或5；
（3）可能．如图2，
①当CE=CF时，∠3=∠2=∠A，
∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立．
②当CE=EF时，
又∵△AEF∽△BCE，
∴△AEF≌△BCE，
∴AE=BC=5，
∴BE=AB-5=1，
③当CF=EF时，∠1=∠2=∠A=∠B，
△FCE∽△CBA，
∴$\frac{EF}{AC}=\frac{CE}{AB}$，
∴$\frac{EF}{CE}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{5}{6}$，
∵△AEF∽△BCE
∴$\frac{EA}{BC}$=$\frac{EF}{CE}$=$\frac{5}{6}$
∴EA=$\frac{5}{6}$BC=$\frac{5}{6}$×5=$\frac{25}{6}$，
∴EB=AB-$\frac{25}{6}$=$\frac{11}{6}$．
答：当BE的长为1或$\frac{11}{6}$时，△CFE为等腰三角形．

点评 此题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，直线与圆的位置关系．解答（3）题时，一定要分类讨论，以防漏解．