Question

19．阅读下面的材料
已知三次方程x³+px²+qx+m=0有整数解t，其中p，q，m为整数．
将t代入方程有：t³+pt²+qt+m=0，移项并整理得：m=t×（-t²-pt-q），由于-t²-pt-q与m及t都是整数，所以m是t的倍数．
根据上面回答下列问题
（1）根据上面的推理过程，说明了系数为整数的三次方程x³+px²+qx+m=0的整数解只可能是m的因数（用文字描述）
（2）方程x³-2x²-4x+3=0是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由．
（3）解关于x的方程x³+4x²+3x-2=0．

Answer 1

分析 （1）认真学习题目给出的材料，掌握“整数系数方程x³+px²+qx+m=0的整数解只可能是m的因数”，再作答．
（2）根据分析（1）得出3的因数后再代入检验可得出答案．
（3）先变形为-x³-4x²-3x+2=0，根据分析（1）得出2的因数后再代入检验可得出答案．

解答 解：（1）由阅读理解可知：系数为整数的三次方程x³+px²+qx+m=0的整数解只可能是m的因数．
（2）该方程有整数解．
方程的整数解只可能是3的因数，即1，-1，3，-3，
将它们分别代入方程x³-2x²-4x+3=0进行验证得：x=3是该方程的整数解．
（3）x³+4x²+3x-2=0，
-x³-4x²-3x+2=0，
方程的整数解只可能是2的因数，即1，-1，2，-2，
将它们分别代入方程x³+4x²+3x-2=0，进行验证得：x=-2是该方程的整数解．
故答案为：m的因数．

点评 本题考查非一次不定方程（组），同学们的阅读能力以及自主学习、自我探究的能力，该类型的题是近几年的热点考题．认真学习题目给出的材料，掌握“整数系数方程x³+px²+qx+m=0的整数解只可能是m的因数”是解答问题的基础．