Question

已知：如图，AE是⊙O的直径，C是AE延长线上的点，且EC=

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AE，CB与⊙O相切于点B，弦AD∥BC，连接CD．
（1）四边形ABCD是菱形吗？为什么？
（2）试说明CD是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定,菱形的判定

专题：

分析：（1）根据切线的性质，由CB与⊙O相切于点B得到OB⊥BC，在利用AE是⊙O的直径，EC=

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2

AE得到OE=CE，在Rt△OBC中，由于OB=

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OC，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠BCO=30°，∠BOC=60°，则BC=

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OB，接着利用三角形外角性质得∠BOC=∠OAB+∠OBC，可计算出∠OAB=30°，所以BA=BC，再利用AD∥BC得到∠DAC=∠BCA=30°，然后由AE是⊙O的直径得到∠ADE=90°，所以DE=

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2

AE，即DE=OD，AD=

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DE=

3

OD，因此AD=BC，则可判断四边形ABCD为平行四边形，加上BA=BC，则可判断四边形ABCD是菱形；
（2）由四边形ABCD是菱形得到CB=CD，再证明△OBC≌△ODC得到∠OBC=∠ODC=90°，于是根据切线的判定定理可得CD是⊙O的切线．

解答：解：（1）四边形ABCD是菱形．理由如下：
∵CB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
∵AE是⊙O的直径，EC=

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AE，
∴OE=CE，
在Rt△OBC中，∵OB=

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2

OC，
∴∠BCO=30°，∠BOC=60°，BC=

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OB，
而∠BOC=∠OAB+∠OBC，
∴∠OAB=30°，
∴BA=BC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA=30°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴DE=

1

2

AE，即DE=OD，
∴AD=

3

DE=

3

OD，
∴AD=BC，
而AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
而BA=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）CD是⊙O的切线．理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD，
在△OBC和△ODC中，

CB=CD CO=CO OB=OD

，
∴△OBC≌△ODC，
∴∠OBC=∠ODC=90°，
∴OD⊥DC，
∴CD是⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了菱形的判定．