Question

如图，将长方形ABCD沿BD对折，C点落在C′的位置，BC′与AD交于点E．
（1）求证：△BED是等腰三角形．
（2）如图，BC=15，∠DBC=30°，求AE的长．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）证明∠EBD=∠EDB，即可解决问题．
（2）求出∠ABE=30°，此为解决该问题的关键性结论；运用直角三角形的性质即可解决问题．

解答：解：（1）由题意得：∠EBD=∠CBD；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE，
即△BED是等腰三角形．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=15；设BE=DE=λ，
则AE=15-λ；
∵∠DBC=30°，
∴∠ABE=90°-2×30°=30°，
∴BE=2AE，即λ=2（15-λ），
解得：λ=10，
∴AE=15-10=5．

点评：该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是牢固掌握矩形的性质、翻折变换的性质，灵活运用来解题．