Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D为AB上一点，CE⊥CD于C，且CE=CD，连接BE、DE，DE与BC交于点F．
（1）求证：BE⊥AB；
（2）若∠ACD=30°，求证：DE=2AD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）证明∠ACD=∠BCE，此为解决问题的关键性结论；证明△ADC≌△BEC，得到∠CBE=∠A=45°，即可解决问题．
（2）证明C、D、B、E四点共圆，得到∠EDB=∠BCE；证明∠ACD=∠BCE=30°，即可解决问题．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，CE⊥CD，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE；
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°；
在△ADC与△BEC中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE DC=EC

，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴∠CBE=∠A=45°，
∴∠DBE=90°，即BE⊥AB．
（2）∵∠CDE=∠CBE=45°，
∴C、D、B、E四点共圆，
∴∠EDB=∠BCE；
∵∠ACD=∠BCE=30°，
∴∠EDB=30°，DE=2BE；
∵△ADC≌△BEC，
∴AD=BE，DE=2AD．

点评：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．