Question

10．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是AD、BC上的点，连接AF、EF，EF与对角线BD交于点O．若AE=AF=CF=12，∠AEF=2∠ADB，则矩形ABCD的面积为108$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接AC、EC．首先证明AC经过点O，由△ECD≌△ECO，推出DC=OC=OA，推出AC=2CD，推出∠DAC=30°，由此即可解决问题．

解答 解：连接AC、EC．

∵四边形ABCD是矩形，
∴DE∥BF，AD=BC，
∴∠EDO=∠OBF，∵AE=CF，
∴DE=BF，
∵∠EOD=∠BOF，
∴△EOD≌△FOB，
∴OB=OD，
∴AC经过点O，
∵∠AEF=2∠ADB，∠AEF=∠EDO+∠EOD，
∴∠EDO=∠EOD，
∴ED=EO，同理可知OF=BF，
∵AE=AF，
∴AC⊥EF，
∴∠EOF=∠EDC=90°，
∵EC=EC，EO=ED，
∴△ECD≌△ECO，
∴DC=OC=OA，
∴AC=2CD，
∴∠DAC=30°，
∵EF⊥AC，OC=OA，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠DEC=60°，
∴∠ECD=30°，
在Rt△EDC中，∵EC=AE=12，∠ECD=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$EC=6，CD=$\sqrt{3}$DE=6$\sqrt{3}$，
∴AD=18，
∴S_矩形ABCD=18×$6\sqrt{3}$=108$\sqrt{3}$

点评 本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数．勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．