Question

18．如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，以A为一个顶点的等腰Rt△ADE，∠ADE=90°，绕点A在∠BAC内旋转，AD、AE所在的直线与BC边分别交于点F、G，若点B关于直线AD的对称点为B′，当∠CFB′=60°时，则BF的长为$\frac{6\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 把△ACG绕点A顺时针旋转90°得到△ABG′，连结FG′、AB′，如图，则根据旋转的性质得BG′=CG，AG=AG，∠ABG′=∠C=45°，∠1=∠BAG′，所以∠FBG′=90°，再证明△AFG≌△AFG′得到FG=FG′，接着利用对称性质得FB=FB′，AB=AB′，∠2=∠3，易得∠1=∠4，AC=AB′，则可判断△AB′G与△ACG关于AG对称，得到GB′=GC，则GB′=BG′，解直角三角形得到关于BF的方程，然后解关于BF的方程即可．

解答 解：把△ACG绕点A顺时针旋转90°得到△ABG′，连结FG′、AB′，如图，则BG′=CG，AG=AG，∠ABG′=∠C=45°，∠1=∠BAG′，
∴∠FBG′=90°，
∵∠FAG=45°，
∴∠1+∠2=45°，
∴∠FAG′=45°，
在△AFG和△AFG′中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG′}\\{∠FAG=∠FAG′}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△AFG′，
∴FG=FG′，
∵点B关于直线AD的对称点为B′，
∴FB=FB′，AB=AB′，∠2=∠3，
而∠3+∠4=45°，∠1+∠2=45°，
∴∠1=∠4，
而AC=AB=AB′，
∴△AB′G与△ACG关于AG对称，
∴GB′=GC，
∴GB′=BG′，
在△FB′G和△FBG′中，$\left\{\begin{array}{l}{FB′=FB}\\{FG=FG′}\\{B′G=BG′}\end{array}\right.$，
∴△FB′G≌△FBG′，
∴∠GFB′=∠BFG′=60°，∠FB′G=∠FBG′=90°，
在Rt△BFG′中，∵∠FBG′=60°，
∴BG′=$\sqrt{3}$BF，FG′=2BF，
∴CG=$\sqrt{3}$BF，FG=2BF，
∴BF+$\sqrt{3}$BF+2BF=BC=4 $\sqrt{2}$，
∴BF=$\frac{6\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{6\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和对称的性质．