Question

5．下列方程中，有实根的是（　　）

• A． $\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}+3=0$
• B． $\sqrt{x-9}+\sqrt{4-x}=16$
• C． $\sqrt{{x}^{2}+1}-\sqrt{{x}^{2}+2}=1-\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$
• D． 6$\sqrt{{x}^{2}-2x+6}=21+2x-{x}^{2}$

Answer 1

分析 根据二次根式的非负性以及不等式的性质判断A、B、C无实数根，利用换元法解方程6$\sqrt{{x}^{2}-2x+6}$=21+2x-x²，判断D有实数根．

解答 解：A、∵$\sqrt{x+1}$≥0，$\sqrt{x+2}$≥0，
∴$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{x+2}$+3≥3≠0，
所以方程$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{x+2}$+3=0没有实数根，故本选项不符合题意；
B、由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{x-9≥0}\\{4-x≥0}\end{array}\right.$，x无解，
所以方程$\sqrt{x-9}$+$\sqrt{4-x}$=16没有实数根，故本选项不符合题意；
C、∵x²+1＜x²+2，
∴$\sqrt{{x}^{2}+1}$-$\sqrt{{x}^{2}+2}$＜0，即方程左边为负数．
∵x²+1≥1，
∴$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≤1，
∴1-$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥0，即方程右边为非负数，
所以方程$\sqrt{{x}^{2}+1}$-$\sqrt{{x}^{2}+2}$=1-$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$没有实数根，故本选项不符合题意；
D、设$\sqrt{{x}^{2}-2x+6}$=y，则原方程可化为6y=27-y²，
解得y=3或y=-9（舍去）．
当y=3时，x²-2x+6=9，
解得x=-1或3，
经检验，x=-1或3都是原方程的根，
所以方程6$\sqrt{{x}^{2}-2x+6}$=21+2x-x²有实数根，故本选项符合题意．
故选D．

点评 本题考查了无理方程，关键是掌握用换元法解无理方程．也考查了二次根式的非负性以及不等式的性质．