Question

2．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则$\frac{1}{2}$AP+BP的最小值是5．

Answer 1

分析 如图，取点K（1，0），连接OP、PK、BK．由△POK∽△AOP，可得$\frac{PK}{PA}$=$\frac{OP}{OA}$=$\frac{1}{2}$，推出PK=$\frac{1}{2}$PA，在△PBK中，PB+PK≥BK，推出PB+$\frac{1}{2}$PA=PB+PK的最小值为BK的长．

解答 解：如图，取点K（1，0），连接OP、PK、BK．

∵OP=2，OA=4，OK=1，
∴$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OK}{OP}$=$\frac{1}{2}$，∵∠POK=∠AOP，
∴△POK∽△AOP，
∴$\frac{PK}{PA}$=$\frac{OP}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴PK=$\frac{1}{2}$PA，
∴PB+$\frac{1}{2}$PA=PB+PK，
在△PBK中，PB+PK≥BK，
∴PB+$\frac{1}{2}$PA=PB+PK的最小值为BK的长，
∵B（4，4），K（1，0），
∴BK=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
故答案为5．

点评 本题考查坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系、两点之间的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．