Question

3．已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AD=AE，AE⊥BE，垂足为E，连结DE．
（1）求证：AB平分∠DAE；
（2）若△ABC是等边三角形，且边长为2cm，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件证明Rt△ADB≌Rt△AEB（HL），得到∠EAB=∠EAD，所以AB平分∠DAE；
（2）利用△ABC是等边三角形，且边长为2cm，求出AD，再证明△ADE为等边三角形，即可解答．

解答 解：（1）∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AE⊥AB，
∴∠AEB=90°=∠ADB，
在Rt△ADB和Rt△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADB≌Rt△AEB（HL），
∴∠EAB=∠DAB，
∵AB平分∠DAE，
（2）如图，

∵△ABC是等边三角形，点D是BC的中点，
∴∠ABC=60°，BD=$\frac{1}{2}$BC=1，∠BAD=30°，
∴AD=ABsin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∵Rt△ADB≌Rt△AEB，
∴AD=AE，∠EAB=∠DAB=30°，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE=AD=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明Rt△ADB≌Rt△AEB．