Question

4．对于钝角β，定义它的三角函数值如下：
sinβ=sin（180°-β），cosβ=-cos（180°-β），tanβ=-tan（180°-β）．
（1）求sin120°，cos135°，tan150°的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程ax²-bx-1=0的两个不相等的实数根，求a、b的值及∠A和∠B的大小．

Answer 1

分析 （1）根据给定钝角的三角函数值，代入数据，即可求出结论；
（2）根据三角形的内角和定理以及三个角的比例可得出三角形的三个内角，分①A=B=30°；②A=30°、B=120°；③A=120°、B=30°．三种情况考虑，根据特殊角的三角函数值找出sinA、cosB的值，再根据根与系数的关系找出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．

解答 解：（1）sin120°=sin（180°-120°）=sin60°=$\frac{3}{2}$；
cos135°=-cos（180°-135°）=-cos45°=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
tan150°=-tan（180°-150°）=-tan30°=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）∵一个三角形的三个内角的比是1：1：4，且三角形的内角和为180°，
∴三角形的三个内角为30、30、120．
①当A=30°、B=30°时，sinA=$\frac{1}{2}$，cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵sinA，cosB是方程ax²-bx-1=0的两个不相等的实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{b}{a}}\\{\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，b=-2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
②当A=30°、B=120°时，sinA=$\frac{1}{2}$，cosB=-$\frac{1}{2}$，
∵sinA，cosB是方程ax²-bx-1=0的两个不相等的实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{b}{a}}\\{\frac{1}{2}×（-\frac{1}{2}）=-\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，
解得：a=4，b=0；
③当A=120°、B=30°时，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
此时sinA=cosB，不满足题意．
综上可知：当A=B=30°时，a=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，b=-2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；当A=30°、B=120°时，a=4，b=0．

点评 本题考查了特殊角的三角函数值、三角形内角和定理以及根与系数的关系，熟练掌握特殊角的三级函数值是解题的关键．