Question

15．在平面直角坐标系中，$A（6\sqrt{3}，0），B（0，6）$，动点M从点O开始沿OA以$\sqrt{3}$cm/s的速度向点A移动，动点N从点A开始沿AB以2cm/s的速度向点B移动．如果M，N分别从O，A同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）．
（1）∠OAB=30度；
（2）求经过A，B两点的直线表达式；
（3）是否存在△AMN为等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△AOB中，求出tan∠OAB的值，即可解决问题．
（2）设直线AB的表达式为y=kx+b，把$A（6\sqrt{3}，0），B（0，6）$代入转化为解方程组解决问题．
（3）存在．分三种情形：①当AM=AN时，②当NA=MN时，③当MA=MN时，分别列出方程解决问题．

解答 解：（1）∵$A（6\sqrt{3}，0），B（0，6）$，
∴OA=6$\sqrt{3}$，OB=6，
∴tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{6}{6\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAB=30°，
故答案为30．

（2）设直线AB的表达式为y=kx+b，
把$A（6\sqrt{3}，0），B（0，6）$代入上式得$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{6\sqrt{3}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+6．

（3）存在．分三种情形：
①当AM=AN时，6$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t=2t，
解得t=12$\sqrt{3}$-18，

②当NA=MN时，$\sqrt{3}$t=$\frac{6\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{2}$，
解得t=2，

③当MA=MN时，$\frac{6\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{2}$•$\sqrt{3}$=t，
解得t=3.6，
综上所述，当t=12$\sqrt{3}$-18或2或3.6s时，△AMN是等腰三角形．

点评 本题考查三角形综合题、锐角三角函数、等腰三角形的判定和性质，一元一次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型．