Question

2．如图，AB为⊙O的直径，AB=4$\sqrt{3}$，点C为半圆AB上一动点，以BC为边向⊙O外作正△BCD（点D在直线AB的上方），连接OD，则线段OD的长（　　）

• A． 随点C的运动而变化，最大值为4
• B． 随点C的运动而变化，最大值为4$\sqrt{3}$
• C． 随点C的运动而变化，最小值为2
• D． 随点C的运动而变化，但无最值

Answer 1

分析 方法一、先利用SSS判断出△OCD≌△OBD，进而得出点C在运动过程中，∠BDO始终是30°，再构造出直角三角形ODF，即可判断出点F和点B重合时，OF最大，即可得出OD的最大值．
方法二、先判断出△COH是等边三角形，得出HC=OC，∠OCH=60°，进而判断出△OCD≌△HCB，即可得出OD=BH，由圆中最大的弦是直径即可得出结论．

解答 解：如图，连接OC，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=60°，CD=BD，
在△OCD和△OBD中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=BD}\\{OC=OB}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△OBD（SSS），
∴∠BDO=∠CDO=$\frac{1}{2}$∠BDC=30°，
过点O作OF⊥BD于F，
在Rt△ODF中，∠BDO=30°，
∴OD=2OF，
当点C在运动的过程中，OD要最大，即OF最大，而OF_最大=OB，
∴OD_最大=2OF_最大=2OB=AB=4$\sqrt{3}$．
故选B．

方法二、如图2，连接OC，
将△OCD绕点C顺时针旋转60°，则点D落在点B处，OD和⊙O相交于H，
连接OH，CH，
同方法一，得出∠ODC=30°，
∴∠CBH=30°，
∴∠COH=60°，
∴△COH是等边三角形，
∴HC=OC，∠OCH=60°，
∵△BCD是等边三角形，
∴CD=BC，∠BCD=60°，
∴∠OCD=∠HCB，
在△OCD和△HCB中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=HC}\\{∠OCD=∠HCB}\\{CD=BC}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△HCB（SAS），
∴OD=BH，
∵BH是⊙O的弦，
∴BH_最大=AB=4$\sqrt{3}$，
即：OD最大=4$\sqrt{3}$，
故选B．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判断和性质，含30°的直角三角形的性质，解本题的关键是构造出直角三角形ODF，判断出OF最大等于OB．