Question

16．正方形ABCD的边长为1，其面积记为S₁，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S₂，…按此规律继续下去，则S₉的值为（　　）

• A． ${（{\frac{1}{2}}）^9}$
• B． ${（{\frac{1}{2}}）^8}$
• C． ${（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）^9}$
• D． ${（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）^8}$

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质可得出S₂+S₂=S₁，写出部分S_n的值，根据数的变化找出变化规律S_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1，依此规律即可得出结论．

解答 解：在图中标上字母E，如图所示．

∵正方形ABCD的边长为1，△CDE为等腰直角三角形，
∴DE²+CE²=CD²，DE=CE，
∴S₂+S₂=S₁．
观察，发现规律：S₁=1²=1，S₂=$\frac{1}{2}$S₁=$\frac{1}{2}$，S₃=$\frac{1}{2}$S₂=$\frac{1}{4}$，S₄=$\frac{1}{2}$S₃=$\frac{1}{8}$，…，
∴S_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1．
当n=9时，S₉=（$\frac{1}{2}$）^9-1=（$\frac{1}{2}$）⁸，
故选：B．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律S_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分S_n的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．