Question

10．如图，正方形ABCD的边长为2，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接AE、DE．
（1）请直接写出∠AEB的度数，∠AEB=75°；
（2）将△AED沿直线AD向上翻折，得△AFD．求证：四边形AEDF是菱形；
（3）连接EF，交AD于点 O，试求EF的长？

Answer 1

分析 （1）由正方形和等边三角形的性质得出∠ABE=30°，AB=BE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠AEB的度数；
（2）先判断出△ABE≌△DCE，得到AE=ED，再由翻折的性质即可得出结论；
（3）先由等边三角形的性质求出EH，进而得出OE，借助（2）的结论即可求出EF．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD，
∵△EBC是等边三角形，
∴BE=BC，∠EBC=60°，
∴∠ABE=90°-60°=30°，AB=BE，
∴∠AEB=∠BAE=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°；
故答案为75°；
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD，
∵△BCE为等边三角形，
∴∠BCE=∠EBC=60°，BE=EC，
∴∠ABE=∠DCE=90°-60°=30°，
∴△ABE≌△DCE，
∴AE=ED，
∵△AED沿着AD翻折为△AFD，
∴AE=ED=AF=FD，
∴四边形AEDF是菱形；
（3）如图，

由翻折知，AE=AF，∠FAO=∠EAO，
∴EF⊥AD，过点E作EH⊥BC于H，
在等边三角形BCE中，BC=2，
∴EH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∴EO=OH-EH=AB-EH=2-$\sqrt{3}$，
∴EF=2EO=2（2-$\sqrt{3}$）=4-2$\sqrt{3}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，翻折性质，菱形的判定和性质，解（2）的关键是判断出AE=ED，解（3）的关键是作出辅助线求出EH．是一道中等难度的中考常考题．