Question

如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（-4，6），双曲线y=

k

x

（x＜0）的图象经过BC的中点D，且于AB交于点E．
（1）求反比例函数解析式和E点坐标；
（2）若F是OC上一点，且以∠OAF和∠CFD为对应角的△FDC、△AFO相似，求F点的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,坐标与图形性质,相似三角形的性质

专题：综合题

分析：（1）由ABCD为矩形，D为BC中点，根据B坐标确定出D坐标，代入反比例解析式求出中k的值，确定出反比例解析式，将x=-4代入反比例解析式求出y的值，确定出E坐标即可；
（2）如图所示，设F（0，y），根据以∠OAF和∠CFD为对应角的△FDC、△AFO相似，列出比例式，求出y的值，即可确定出F坐标．

解答：解：（1）∵四边形ABCD为矩形，D为BC中点，B（-4，6），
∴D（-2，6），
设反比例函数解析式为y=

k

x

，
将D（-2，6）代入得：k=-12，
∴反比例解析式为y=-

12

x

，
将x=-4代入反比例解析式得：y=3，
则E（-4，3）；

（2）设F（0，y），如图所示，连接DF，AF，
∵∠OAF=∠DFC，△AOF∽△FCD，
∴

OF

OA

=

CD

CF

，即

y

4

=

2

6-y

，
整理得：y²-6y+8=0，即（y-2）（y-4）=0，
解得：y₁=2，y₂=4，
则F坐标为（0，2）或（0，4）．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，相似三角形的性质，以及一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．