Question

如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形 ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．

（1）求AO的长；
（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC=

3

AM；
（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．

Answer 1

考点：四边形综合题,等边三角形的性质,菱形的性质

专题：几何综合题,压轴题

分析：（1）在RT△OAB中，利用勾股定理OA=

AB2-OB2

求解，
（2）由四边形ABCD是菱形，求出△AFM为等边三角形，∠M=∠AFM=60°，再求出∠MAC=90°，在Rt△ACM中tan∠M=

AC

AM

，求出AC．
（3）求出△AEM≌△ABF，利用△AEM的面积为40求出BF，在利用勾股定理AF=

AO2+FO2

=

52+42

=

41

，得出△AFM的周长为3

41

．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=

1

2

BD，
∵BD=24，
∴OB=12，
在Rt△OAB中，
∵AB=13，
∴OA=

AB2-OB2

=

132-122

=5．

（2）如图2，

∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，
由已知AF=AM，∠MAF=60°，
∴△AFM为等边三角形，
∴∠M=∠AFM=60°，
∵点M，F，C三点在同一条直线上，
∴∠FAC+∠FCA=∠AFM=60°，
∴∠FAC=∠FCA=30°，
∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=60°+30°=90°，
在Rt△ACM中
∵tan∠M=

AC

AM

，
∴tan60°=

AC

AM

，
∴AC=

3

AM．

（3）如图，连接EM，

∵△ABE是等边三角形，
∴AE=AB，∠EAB=60°，
由（2）知△AFM为等边三角形，
∴AM=AF，∠MAF=60°，
∴∠EAM=∠BAF，
在△AEM和△ABF中，

AE=AB ∠EAM=∠BAF AM=AF

，
∴△AEM≌△ABF（SAS），
∵△AEM的面积为40，△ABF的高为AO
∴

1

2

BF•AO=40，BF=16，
∴FO=BF-BO=16-12=4
AF=

AO2+FO2

=

52+42

=

41

，
∴△AFM的周长为3

41

．

点评：本题主要考查四边形的综合题，解题的关键是灵活运用等边三角形的性质及菱形的性质．