Question

6．如图，已知矩形ABCD的四个顶点位于双曲线y=$\frac{k}{x}$上，且点A的横坐标为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，S_矩形ABCD=2$\sqrt{5}$，则k=1．

Answer 1

分析 先根据四边形ABCD是矩形，再根据两点间的距离公式用k表示出AB及BC的长，利用矩形的面积公式即可得出结论．

解答 解：∵矩形ABCD的四个顶点位于双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴A与C，B与D关于原点对称，A与D，C与B关于直线x=y对称，
设A（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$k），则D（$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$k，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$），C（-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，-$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$k），B（-$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$k，-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$），
∴AB=$\sqrt{（\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}+1}{2}k）^{2}+（\frac{\sqrt{5}+1}{2}k+\frac{\sqrt{5}-1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{-6+2\sqrt{5}+4k-（6-2\sqrt{5}）{k}^{2}}$，AD=$\sqrt{（\frac{\sqrt{5}-1}{2}-\frac{\sqrt{5}+1}{2}k）^{2}+（\frac{\sqrt{5}+1}{2}k-\frac{\sqrt{5}-1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{-6+2\sqrt{5}+4k-（6-2\sqrt{5}）{k}^{2}}$，
∵S_{四边形ABCD}=AB•AD=2$\sqrt{5}$，
∴k=±1，
∵k＞0，
∴k=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，矩形的性质，难度适中．