题目内容
13．学完“等腰三角形”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．（1）请你完成这道思考题；
（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？
…
请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①是；②是；选择一个给出证明．
分析 （1）可证明△ABM≌△BCN，可求得∠BAM=∠CBN，再再利用外角的性质可证∠BQM=60°；
（2）①由∠BQM=60°可求得∠BAM=∠CBN，可证明△ABM≌△BCN，可求得BM=CN；②由条件可证明△ABM≌△BCN，同（1）可求得∠BQM=60°．
解答 （1）证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABM和△BCN中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABM=∠C}\\{BM=CN}\end{array}\right.$
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=∠ABM=60°；
（2）解：
①是，证明如下：
∵∠BQM=60°，
∴∠ABM=∠BQM，
∴∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ，
∴∠BAM=∠CBN，
在△ABM和△BCN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠CBN}\\{AB=BC}\\{∠ABM=∠C}\end{array}\right.$
∴△ABM≌△BCN（ASA），
∴BM=CN；
②是，证明方法同（1）．
故答案为：是；是．
点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
练习册系列答案
寒假创新型自主学习第三学期寒假衔接系列答案
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