Question

3．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，P为BC上一点，PF⊥AB于F，PE⊥AC于E，则DF与DE的关系为DF=DE且DF⊥ED．

Answer 1

分析 如图，连接AD．欲证明DF=DE，只要证明△ADF≌△CDE即可．

解答 解：如图，连接AD．

∵AB=AC，∠BAC=90°，BD=DC，
∴AD=BD=DC，∠C=∠BAD=45°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AFP=∠AEP=∠EAF=90°，
∴四边形AFPE是矩形，∠C=∠EPC=45°，
∴PE=AF，PE=EC，
∴AF=EC，
在△ADF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠FAD=∠C}\\{AF=EC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CDE，
∴DF=DE，∠FDA=∠EDP，
∴∠FDE=∠ADC=90°
故答案为DF=DE且DF⊥DE．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．