Question

5．一次函数y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3的图象分别交x、y轴于A、B两点，是否在坐标轴上存在一点C使得△ABC为直角三角形？若有，请求出C点的坐标．

Answer 1

分析 求出直线与坐标轴的交点B、A的坐标，得出OA、OB的长度，分三种情况：①当∠ABC=90°时；②当∠ACB=90°时；③当∠BAC=90°时；分别由三角函数求出OC的长，即可得出C点的坐标．

解答 解：存在，理由如下：
一次函数y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
当x=0时，y=3；当y=0时，x=-3$\sqrt{3}$，
∴B（0，3），A（-3$\sqrt{3}$，0），
∴OA=3$\sqrt{3}$，OB=3，
∴tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABO=60°，
∴∠OAB=30°，
分三种情况：如图所示：
①当∠ABC=90°时，∠ACB=60°，
∴OC=$\frac{OB}{\sqrt{3}}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴C（$\sqrt{3}$，0）；
②当∠ACB=90°时，C与O重合，
∴C（0，0）；
③当∠BAC=90°时，∠ACO=60°，
∴OC=$\sqrt{3}$OA=3×3$\sqrt{3}$=9，
∴C（0，-9）；
综上所述：存在一点C使得△ABC为直角三角形，C点的坐标为（$\sqrt{3}$，0）或（0，0）或（0，-9）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角函数、坐标与图形性质；求出直线与坐标轴的交点B、A的坐标是解决问题的关键．