Question

9．如图，?ABCD的对角线AC、BD交于点O，△AOB是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若OE⊥BD交BC于E，求证：BE=2CE．

Answer 1

分析 （1）只要证明AC=BD即可解决问题．
（2）在RT△BOE中，易知BE=2EO，只要证明EO=EC即可

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，BO=OD，
∵△ABO是等边三角形，
∴AO=BO=AB，
∴AO=OC=BO=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC，∠ABC=90°，
∵△ABO是等边三角形，
∴∠ABO=60°，
∴∠OBC=∠OCB=30°，∠BOC=120°，
∵BO⊥OE，
∴∠BOE=90°，∠EOC=30°，
∴∠EOC=∠ECO，
∴EO=EC，
∴BE=2EO=2CE．

点评 本题考查平行四边形的性质、矩形的判定、等边三角形的性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是直角三角形30度角的性质的应用，属于中考常考题型．