Question

12．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC边上，BD=CE，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△BDF∽△ADB；
（2）当$\frac{BD}{CD}$=$\frac{1}{2}$时，求$\frac{DF}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质可证明△ABD≌△BCE，可得∠FBD=∠BAD，可证明△BDF∽△ADB；
（2）根据$\frac{BD}{CD}$=$\frac{1}{2}$，得到$\frac{CE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，过E作EG∥AD交CD于G，根据相似三角形的性质得到$\frac{GE}{AD}=\frac{CE}{AC}$=$\frac{CG}{CD}$=$\frac{1}{3}$，求得AD=3GE，DG=$\frac{2}{3}$CD，通过△BDF∽△BEG，得到$\frac{DF}{EG}=\frac{BD}{BG}$=$\frac{3}{7}$，得到DF=$\frac{3}{7}$EG，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C，
在△ABD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠C}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠FBD=∠BAD，且∠BDF=∠ADB，
∴△BDF∽△ADB；

（2）∵BD=CE，AC=BC，
∴CD=AE，
∵$\frac{BD}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
过E作EG∥AD交CD于G，
∴△CEG∽△ACD，
∴$\frac{GE}{AD}=\frac{CE}{AC}$=$\frac{CG}{CD}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{DG}{CD}$=$\frac{2}{3}$，AD=3GE，
∴DG=$\frac{2}{3}$CD，
∵BD=$\frac{1}{2}$CD，
∴$\frac{BD}{DG}$=$\frac{3}{4}$，
∵EG∥AD，
∴△BDF∽△BEG，
∴$\frac{DF}{EG}=\frac{BD}{BG}$=$\frac{3}{7}$，
∴DF=$\frac{3}{7}$EG，
∴AF=AD-DF=$\frac{19}{7}$EG，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{3}{19}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，准确作出辅助线是解题的关键．