Question

15．如图，以△ABC的三边分别作等边△ABD，△BCE，△ACF．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）平行四边形ADEF是否一定存在？试证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）可先证明△ABC≌△DBE，可得DE=AC，又有AC=AF，可得DE=AF，同理可得AD=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ADEF是平行四边形；
（2）不一定，当∠BAC=60°时不存在．

解答 （1）证明：∵△ABD，△BCE都是等边三角形，
∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE，
在△ABC和△DBE中，$\left\{\begin{array}{l}{DB=AB}\\{∠ABC=∠DBE}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DBE（SAS）．
∴DE=AC．
又∵AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得EF=AD．
∴四边形ADEF是平行四边形．

（2）解：不一定，当∠BAC=60°时，∠DAF=180°，不存在四边形ADEF．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定，关键是掌握等边三角形三边相等，三个角都是60°，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．