Question

20．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C
（1）证明PA是⊙O的切线；
（2）求直线AB的解析式．

Answer 1

分析 （1）由AO=2，P的纵坐标为2，得到AP与x轴平行，即PA与AO垂直，即可得到AP为圆O的切线；
（2）连接OP，OB，过B作BQ垂直于OC，由切线长定理得到PA=PB=4，PO为角平分线，进而得到一对角相等，根据AP与OC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换并利用等角对等边得到OC=CP，设OC=x，BC=BP-PC=4-x，OB=2，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OC与BC的长，在直角三角形OBC中，利用面积法求出BQ的长，再利用勾股定理求出OQ的长，根据B在第四象限，即可求出B的坐标，然后求得一次函数的解析式．

解答 （1）证明：∵圆O的半径为2，P（4，2），
∴AP⊥OA，
则AP为圆O的切线；
（2）解：连接OP，OB，过B作BQ⊥OC，
∵PA、PB为圆O的切线，
∴∠APO=∠BPO，PA=PB=4，
∵AP∥OC，
∴∠APO=∠POC，
∴∠BPO=∠POC，
∴OC=CP，
在Rt△OBC中，设OC=PC=x，则BC=PB-PC=4-x，OB=2，
根据勾股定理得：OC²=OB²+BC²，即x²=4+（4-x）²，
解得：x=2.5，
∴BC=4-x=1.5，
∵S_△OBC=$\frac{1}{2}$OB•BC=$\frac{1}{2}$OC•BQ，即OB•BC=OC•BQ，
∴BQ=$\frac{2×1.5}{2.5}$=1.2，
在Rt△OBQ中，根据勾股定理得：OQ=$\sqrt{O{B}^{2}-B{Q}^{2}}$=1.6，
则B坐标为（1.6，-1.2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
由A（0，2），B，（1.6，-1.2）；可得$\left\{\begin{array}{l}{2=b}\\{-1.2=1.6k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-2x+2．

点评 此题考查了切线的性质与判定，坐标与图形性质，勾股定理，三角形的面积求法，平行线的性质，以及切线长定理，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握切线的性质与判定是解本题的关键．