Question

2．在△AOB中，AO=BO，以O圆心作圆和AB相切于点F，和OA，OB相交于点D，C，连接OF交于点E．
（1）求证：CD∥AB；
（2）若2OE=3EF，求△AOB三边的比值；
（3）若CD=8，EF=2，求AB的长度．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和定理求出∠O，根据等腰三角形的性质求出∠OCD=∠ODC=30°，得出∠OCD=∠A即可；
（2）由已知条件得到OE：OC=3：5，根据切线性质得到OF⊥AB，通过△OCD∽△OAB，得到$\frac{OD}{CD}=\frac{OA}{AB}=\frac{5}{8}$，于是得到结论；
（3根据勾股定理得到OD=5，求得OE=3，根据相似三角形的想知道的$\frac{CD}{AB}=\frac{OE}{OF}$，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵AO=BO，
∴∠A=$\frac{1}{2}$（180°-∠AOB），
∵OD=OC，
∴∠ODC=$\frac{1}{2}$（180°-∠AOB），
∴∠A=∠ODC，
∴CD∥AB；

（2）∵2OE=3EF，
∴OE：OF=3：5，
∴OE：OC=3：5，
∵圆和AB相切于点F，
∴OF⊥AB，
∴OF⊥CD
∴OD：DE=5：4，
∴OD：CD=5：8，
∵CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴$\frac{OD}{CD}=\frac{OA}{AB}=\frac{5}{8}$，
∴△AOB三边的比值为：5：5：8；

（3）∵CD=8，EF=2，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=4，OE=OD-2，
∴OD²=OE²+DE²，
即OD²=（OD-2）²+4²，
∴OD=5，
∴OE=3，
∵△OCD∽△OAB，
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{OE}{OF}$，
∴AB=$\frac{40}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键．