Question

13．已知二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标为（1，4），与x轴的两个交点间的距离为4，求这个二次函数的表达式．

Answer 1

分析 先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的两个交点坐标为（-1，0），（3，0），则可设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把顶点坐标代入求出a的值即可．

解答 解：∵抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为（1，4），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵抛物线与x轴的两个交点间的距离为4，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为（-1，0），（3，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把（1，4）代入得-4a=4，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．