Question

12．如图①，在Rt△ABO中，∠A=90°，AB=2，AO=4，⊙O的半径为1，点C为BO的中点，点H为⊙O上一点，CH=2
（1）求证；CH是⊙O的切线；
（2）如图②，过C作CD⊥CH交AO于D点，求tan∠ODC的值．

Answer 1

分析 （1）接OH，如图①，要证CH是⊙O的切线，只需证∠OHC=90°，只需运用勾股定理的逆定理就可解决问题；
（2）连接OH，设CH与OA交于点E，如图②，易证OH∥DC，则有∠ODC=∠HOE，要求tan∠ODC，只需求tan∠HOE，易证△CHO∽△OAB，则有∠HCO=∠AOB，即可得到EC=EO．设OE=x，则EC=x，EH=2-x，在Rt△EHO中运用勾股定理就可求出x，从而可求出EH，tan∠HOE．

解答 解：（1）连接OH，如图①，

∵∠A=90°，AB=2，AO=4，
∴OB=$\sqrt{A{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵点C是OB的中点，
∴OC=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{5}$．
∵CH=2，OH=1，
∴CH²+OH²=5=OC²，
∴∠OHC=90°，
∴CH与⊙O相切；

（2）连接OH，设CH与OA交于点E，如图②，

∵$\frac{OH}{AB}$=$\frac{CH}{OA}$=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴△CHO∽△OAB，
∴∠HCO=∠AOB，
∴EC=EO．
设OE=x，则EC=x，EH=2-x．
在Rt△EHO中，
（2-x）²+1²=x²，
解得x=$\frac{5}{4}$，
∴EH=2-$\frac{5}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠HOE=$\frac{EH}{OH}$=$\frac{3}{4}$．
∵CD⊥CH，
∴∠DCH=∠OHC=90°，
∴OH∥DC，
∴∠ODC=∠HOE，
∴tan∠ODC=tan∠HOE=$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查了勾股定理及其逆定理、圆的切线的性质、等腰三角形的判定、三角函数、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证到EC=EO是解决第（2）小题的关键．