Question

6．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-4x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，顶点D在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，将该正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，顶点C恰好落在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，则a的值是（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 如图作CN⊥OB于N，DM⊥OA于M，CN与DM交于点F，CN交反比例函数于H，利用三角形全等，求出点C、点H坐标即可解决问题．

解答 解：如图作CN⊥OB于N，DM⊥OA于M，CN与DM交于点F，CN交反比例函数于H．
∵直线y=-4x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点B（0，4），点A（1，0），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC=BC，∠BAD=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，∠BAO+∠DAM=90°，
∴∠ABO=∠DAM，
在△ABO和△DAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOA=∠AMD=90°}\\{∠ABO=∠DAM}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△DAM，
∴AM=BO=4，DM=AO=1，
同理可以得到：CF=BN=AO=1，DF=CN=BO=4，
∴点F（5，5），C（4，1），D（5，1），k=5，
∴反比例函数为y=$\frac{5}{x}$
∴直线CN与反比例函数图象的交点H坐标为（1，5），
∴正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，顶点C恰好落在双曲线y=$\frac{k}{x}$上时，a=3，
故选A．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．