Question

19．我们把分子为1的分数叫做单位分数，如$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，…任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{20}$，…
（1）根据对上述式子的观察，你会发现$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$，则a=6，b=30；
（2）进一步思考，单位分数$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{x}$（n是不小于2的正整数），则x=n（n+1）（用n的代数式表示）
（3）计算：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{30×31}$．

Answer 1

分析 （1）根据题意给出的规律即可求出a与b的值．
（2）根据分式的运算法则即可求出x的表达式
（3）根据（2）中给出的规律进行拆分即可求出答案．

解答 解：（1）a=6，b=30

（2）∵$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
∴x=n（n+1）

（3）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{30}$-$\frac{1}{31}$
=1-$\frac{30}{31}$
=$\frac{30}{31}$
故答案为：（1）6；30

（2）n（n+1）

点评 本题考查分式的混合运算，解题的关键是正确理解题意给出的规律，本题属于中等题型．