Question

4．如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形FGCE，点M、N分别是BD、GE的中点，若BC=14，CE=2，则MN的长为10．

Answer 1

分析 连接AC、CF、AF，由矩形的性质和勾股定理求出AC，由矩形的性质得出M是AC的中点，N是CF的中点，证出MN是△ACF的中位线，由三角形中位线定理得出MN=$\frac{1}{2}$AF，由等腰直角三角形的性质得出AF=$\sqrt{2}$AC=20，即可得出结果．

解答 解：连接AC、CF、AF，如图所示：
∵矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形FFCE，
∴∠ABC=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+1{4}^{2}}$=10$\sqrt{2}$，
AC=BD=GE=CF，AC与BD互相平分，GE与CF互相平分，
∵点M、N分别是BD、GE的中点，
∴M是AC的中点，N是CF的中点，
∴MN是△ACF的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$AF，
∵∠ACF=90°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴AF=$\sqrt{2}$AC=10$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=20，
∴MN=10．
故答案为：10．

点评 本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握矩形的性质，由三角形中位线定理求出MN是解决问题的关键．